【推公式法】【线性代数】P2512 [HAOI2008]糖果传递

Nanmener
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题目描述

有 nn 个小朋友坐成一圈，每人有 aia_i 个糖果。每人只能给左右两人传递糖果。每人每次传递一个糖果代价为 11 。

输入格式

小朋友个数 nn，下面 nn 行 aia_i 。

输出格式

求使所有人获得均等糖果的最小代价。

输入输出样例

输入 #1

4
1
2
5
4

输出 #1

4

说明/提示 对于 100%100\% 的数据 n≤106n\le 10^6 。

思路：

设每个人原来拥有糖果数量为 AiA_i ，每次向右传递数量为 XiX_i （向左为 −Xi-X_i ），糖果平均数为 avgavg 。

则有

原有的−向右传出去的+左边传进来的=平均数原有的-向右传出去的+左边传进来的=平均数

即

Ai−Xi+Xi+1=avgA_i-X_i+X_{i+1}=avg

联立方程

{A1−X1+X2=avgA2−X2+X3=avg⋯An−1−Xn−1+Xn=avgAn−Xn+X1=avg\left\{ \begin{aligned} A_1-X_1+X_{2}&=avg \\ A_2-X_2+X_{3}&=avg \\ \cdots \\ A_{n-1}-X_{n-1}+X_{n}&=avg \\ A_n-X_n+X_{1}&=avg \\ \end{aligned} \right.

整理得

{−X1+X2=avg−A1−X2+X3=avg−A2⋯−Xn−1+Xn=avg−An−1X1−Xn=avg−An\left\{ \begin{aligned} -X_1+X_{2}&=avg-A_1 \\ -X_2+X_{3}&=avg-A_2 \\ \cdots \\ -X_{n-1}+X_{n}&=avg-A_{n-1} \\ X_{1}-X_n&=avg-A_n \\ \end{aligned} \right.

其增广矩阵

B=(A    β)=[−110⋯00ave−A10−11⋯00ave−A2⋮⋱⋮⋮000⋯−11ave−An−1100⋯0−1ave−An]B=(A \;\;\beta)= \left[ \begin{array}{cccccc|c} -1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & ave-A_1\\ 0 & -1 & 1 & \cdots & 0 & 0 & ave-A_2\\ \vdots & & \ddots& & & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & 1 & ave-A_{n-1}\\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -1 & ave-A_{n}\\ \end{array} \right]

化为行最简形

[100⋯0−1(∑i=1n−1Ai)−(n−1)ave010⋯0−1(∑i=2n−1Ai)−(n−2)ave⋮⋱⋮⋮000⋯1−1An−1−ave000⋯000]\left[ \begin{array}{cccccc|c} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -1 & (\sum_{i=1}^{n-1}A_i)-(n-1)ave\\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & -1 & (\sum_{i=2}^{n-1}A_i)-(n-2)ave\\ \vdots & & \ddots& & & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & -1 & A_{n-1}-ave\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right]

得方程组的解为

{X1=Xn+(∑i=1n−1Ai)−(n−1)aveX2=Xn+(∑i=2n−1Ai)−(n−2)ave⋮Xn−1=Xn+An−1−aveXn=Xn∈R\left\{ \begin{aligned} X_1&=X_n+(\sum_{i=1}^{n-1}A_i)&-(n-1)ave\\ X_2&=X_n+(\sum_{i=2}^{n-1}A_i)&-(n-2)ave\\ &\qquad \qquad \qquad \vdots \\ X_{n-1}&=X_n+A_{n-1}&-ave\\ X_n&=X_n&\in{\Bbb R}\\ \end{aligned} \right.

现在要求 ∑i=1n∣Xi∣\sum_{i=1}^{n}|X_i| 的最小值

观察方程组的解，发现所有项都有相同的变量 XnX_n ，所以构造函数

Xx=Xn+f(x)X_x=X_n+f(x)

即

f(x)=∑i=xn−1Ai  −(n−x)avef(x)=\sum_{i=x}^{n-1}A_i \; -(n-x)ave

所以

∑i=1n∣Xi∣=∣Xn+f(1)∣+⋯+∣Xn+f(n)∣=∑i=1n∣Xn+f(i)∣\sum_{i=1}^{n}|X_i|=|X_n+f(1)|+\cdots+|X_n+f(n)|=\sum_{i=1}^{n}|X_n+f(i)|

而 ∑i=1n∣Xn+f(i)∣\sum_{i=1}^{n}|X_n+f(i)| 可以看作数轴上的点 XnX_n 到点 −f(i),i∈[1,n]-f(i),i\in [1,n] 的距离之和

那么 XnX_n 应取最中间的点（高中结论，函数图像为平底锅（ nn 为偶数）或尖底锅（ nn 为奇数））

于是我们只要找到 −f(i),i∈[1,n]-f(i),i\in [1,n] 的中位数，把他赋值给 XnX_n 即可 将其代入∑i=1n∣Xn+f(i)∣\sum_{i=1}^{n}|X_n+f(i)| 即为本题答案

PS:PS: f(x)f(x) 有递归求法 f(i)=f(i+1)+Ai−avef(i)=f(i+1)+A_i-ave ，从后往前循环即可，不要用 f(x)=∑i=xn−1Ai  −(n−x)avef(x)=\sum_{i=x}^{n-1}A_i \; -(n-x)ave ，后者会导致 TLETLE

ACAC 代码

R73269788 记录详情

编程语言 C++20
代码长度 494B
用时 2.34s
内存 8.05MB

#include<bits/stdc++.h>
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
#define ROF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i)
#define ll long long
using namespace std;

const int N = 1e6+1;
int n,a[N],f[N];
ll ave=0,ans=0,Xn;

int main(){
    cin>>n;
    FOR(i,1,n){
        cin>>a[i];
        ave+=a[i];
    }
    ave/=n;//由题意，一定能整除
    f[n]=0;
    ROF(i,n-1,1)
        f[i]=f[i+1]+a[i]-ave;
    sort(f+1,f+n+1);
    Xn=-f[(n+1)/2];
    FOR(i,1,n)
        ans+=abs(Xn+f[i]);
    cout<<ans;
    return 0;
}
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